Rumus Penting Persamaan Kuadrat

PERSAMAAN KUADRAT

A. Bentuk Umum

Persamaan kuadrat adalah persamaan yang dinyatakan oleh bentuk: ax² + bx + c = 0 dengan a, b, c ∈ R dan a ≠ 0

B. Akar Persamaan

Menyelesaikan suatu persamaan kuadrat adalah mencari harga-harga real yang memenuhi bentuk persamaan. Harga x real yang memenuhi nantinya disebut sebagai "akar" persamaan.

a. Metode Faktorisasi

Diubah menjadi faktor-faktor linear, Diubah menjadi faktor-faktor linear, ¹/a (ax + p)(ax + q) = 0 sehingga diperoleh akar-akarnya x₁ = - p/a atau x₂ = -q/a

b. Metode Melengkapkan Kuadrat Sempuma

Diubah bentuk menjadi (x + p)² = q dengan  $$p=\frac{b}{2a}danq={\frac{\left(b\right)}{2a}}^2-\frac{c}{a}$$ sehingga diperoleh akar-akarnya $$x_{1,2}=-p\pm \sqrt{q}$$

BACA JUGA

⇔50 Latihan dan Kunci Jawaban Persamaan Kuadrat⇔

BACA JUGA:Rumus Penting Persamaan Kuadrat

c. Metode Rumus Kuadrat

Dirumuskan $$x_{1,2}=-\frac{-b\pm \sqrt{b^2}-4ac}{2a}$$ 

C. Sifat-Sifat Akar Kuadrat

Misalkan x₁ dan x₂ akar-akar persamaan ax² + bx + c = 0 dengan D > 0, maka $$x_1=-\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}dan{x}_2=\frac{-b\sqrt{D}}{2a}$$ Sebagai akibat rumus di atas, diperoleh sifat:
a. Persamaan jumlah akar $$x_1+x_2=\frac{b}{a}$$

b. Persamaan Hasil kali akar $$x_1✳x_2=\frac{c}{a}$$
c. Persamaan Selisih akar $$|x_1-x_2|=\frac{\sqrt{D}}{\left|a\right|}$$ 

Bentuk Pengembangan Sifat-sifat Akar

a. Jumlah kuadrat $$x_1^2{+x}_2^2={(x_1+x_2)}^2-2(x_1\bullet x_2)$$ b. Jumlah pangkat tiga $$x_1^2{+x}_2^3={(x_1+x_2)}^3-3(x_1\bullet x_2)(x_1+x_2)$$ c. Selisih kuadrat $$x_1^2{-x}_2^2=(x_1+x_2)(x_1+x_2)$$ d. Kuadrat selisih $${(x_1+x_2)}^2={(x_1-x_2)}^2-4(x_1\bullet x_2)$$ e. Jumlah kebalikan $$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1\bullet x_2}$$

D. Jenis Akar

Perhatikan persamaan berikut ini $${\mathrm{a}\mathrm{x}}^2+bx+c=0\iff x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$ Nilai b²- 4ac digunakan sebagai diskriminan (pembeda) = D. Jenis akar persamaan ditentukan oleh besarnya D.
Kemungkinan yang dapat terjadi:
a. Jika D>0,D non-negatif, maka persamaan kuadrat tersebut akar-akarnya real.

BACA JUGA:Rumus Penting Persamaan Kuadrat

1) D>0,persamaan kuadrat mempunyai 2 akar real yang berbeda.
2) D =0,persamaankuadratmempunyai 2 akar real yang sama.
b. Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real.
c. Jika D = k²; maka mempunyai 2 akar rasional.
Dari uraian di atas, dapat dikembangkan bentuk perluasan untuk akar-akar real (D ≥ 0).
a. Kedua akar berkebalikan (x₁ = ¹/x₂)
1. D ≥ 0

2. x₁∗x₂ = 1

BACA JUGA:Rumus Penting Persamaan Kuadrat

b. Kedua akar berlawanan (x₁ = -x₂)
1. D > 0
2. x₁ + x₂ = 0
3. x₁ ∗ x₂ < 1
c. Kedua akar positif ( x₁ > 0 ∧ x₂ > 0)
1. D ≥ 0
2. x₁ + x₂ > 0
3. x₁ ∗ x₂ > 0

BACA JUGA:Pengertian, Rumus, dan Sifat-sifat Notasi Sigma dan Induksi Matematika

d. Kedua akar negatif ( x₁ < 0 ∧ x₂ < 0)
1. D ≥ 0
2. x₁ + x₂ < 0
3. x₁ ∗ x₂ < 0

E. Membentuk Persamaan Kuadrat Baru

Persamaan kuadrat dapat dibentuk jika kedua akarnya atau informasi tentang kedua akarnya diketahui. Jika suatu persamaan kuadratmempunyai akar-akar x₁ dan x₂, maka persamaannya adalah: $$x^2-(x_1+x_2)x+(x_1\ast x_2)=0$$

F. Beberapa Hal Khusus dalam Membentuk Persamaan Kuadrat

a. Dua persamaan kuadrat yang memiliki dua akar persekutuan

Jika persamaan-persamaan a₁x² + b₁x² + b₁x + c₁: = 0 dan a₂x² + b₂x + c₂ = 0 memiliki dua akar persekutuan, maka kedua akar persamaan tersebut harus sama atau identik, dengan kata lain: a₁= a₂; b₁= b₂; C₁= C₂

b. Dua persamaan kuadrat yang memiliki satu akar persekutuan

Jika persamaan-persamaan a₁x² + b₁x + c₁ = 0 dan a₂x² + b₂x + c₂ = 0 memiliki satu akar persekutuan, maka akar yang dimaksud (𝞪) adalah: $$\alpha =\frac{a_1{c}_2-a_2{c}_1}{a_2{b}_1-}dan{\left(\frac{a_1{c}_2-a_2{c}_1}{a_2{b}_1-a_1{b}_2}\right)}^2=\frac{b_1{c}_2-b_2{c}_1}{b_2{a}_1-b_1{a}_2}$$ Perbandingan akar-akar persamaan kuadrat Jika x₁ dan x₂ adalah akar-akar persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 memiliki hubungan x₁ = kx₂ <=> kb² = ac(k + l)²